나비효과의 프랙털이란^#^

프랙털이란
1. 프랙털과 Scale
<영국 해안선의 길이는 얼마인가?>
폴란드 출신의 미국의 응용수학자 만델브로는 해안선과 구불구불한 국경선에 의문을 느끼면서 여러 백과 사전을 검토한 결과, 약 20%의 차이가 있음을 발견하였다. 사실 해안선의 길이는 측정하는 자의 길이에 따라 달라진다. 다음 그림을 보자.
<코흐곡선>
언뜻 보기에 이 질문은 매우 단순해 보인다. 지도와 자가 있다면 여러분은 앉아서도 곧 결과를 얻을 것이다. 그렇지만 실제로 해안으로 나가서 직접 측량을 한다면 더 큰 값을 얻을 것이다. 더욱이 측량하는 자의 크기가 작아질수록 더 큰 결과를 얻게될 것이다.
`프랙털'이란 용어는 자신의 저서 "자연의 프랙털 기하학"에서 위의 간단한 질문을 통해 인간이 가진 직관적 인식과 차원의 개념에 대하여 심오한 의문을 제기하였다.
만일 원과 같이 매끄러운 곡선이라면 우리는 원주의 길이를 알고 있다. 이다. 원의 내부에 접하는 다각형을 이용하여 원주의 근사치를 구해갈 수도 있다. 이때 다각형의 한 변의 길이가 점점 짧아지면, 즉 4각형->8각형->16각형으로 증가하면 이렇게 다각형의 변의 길이의 합으로 구한 것을 '파이 이야기'에서 보았다.
그러나 원모양의 곡선과 해안선과 같은 곡선은 근본적으로 차이가 있다. 해안선의 수많은 굴곡, 강, 바위들을 생각하면 될 것이다. 긴 측량단위는 이들의 굴곡들을 무시하고 그냥 지나간다. 이보다 짧은 측량단위는 구부러진 형태들을 고려하기에 전체길이가 증가할 것이다. 우리는 이와 같이 측량의 단위를 작게 할수록 곡선의 길이가 증가한다면 이러한 곡선을 프랙털 곡선이라 부를 수 있다. 여러분의 손지갑에 들어있는 티슈를 찢어서 그 찢어진 선을 보면 쉽게 이해될 것이다.
만델브로는 측정단위가 작아짐에 따라 해안선의 길이는 한없이 커짐을 발견하였다.길이, 깊이, 두께 등을 측정하는 유클리드식 측정 방법으로는 불규칙한 현상의 본질을 나타낼 수 없기 때문에, 만델브로는 다른 생각, 즉 차원이라는 개념으로 관심을 돌렸다.
2. 꼬인 실뭉치는 몇차원인가?
만델브로는 그것이 사람의 관점에 따라 다르다고 대답했다. 먼 거리에서 보면 실뭉치는 0차원의 접으로 보인다. 가까이서 보면, 실뭉치는 구를 채우고 있는 3차원으로 보인다. 더 가까이서 보면 꼬인 실이 보이는데, 1차원의 실이 차원 공간속에 뒤엉켜 있긴 하지만, 1차원 물체이다. 만델브로는 수학자답지 않게 상대성에 호소하였다. 물론 이 주장의 약점은 '멀리서' 그리고 '가까이서' 라는 불분명한 개념에 의존하고 있다. 이처럼 차원 전환에 나타나는 모호한 성격은 그러나 약점이 아니라 차원에 대한 새로운 사고를 태동시켰다.
<힐버트의 곡선>
힐버트의 곡선은 직선으로 평면을 채울 수 있음을 보여준다. 과연 이 평면을 채우는 직선의 차원은 얼마인가?
3.소수차원
만델브로는 0,1,2,3,... 이라는 차원을 넘어서서 있을 수 없을 것 같이 보이는 소수 차원을 생각했다. 그는 수학자들의 오래된 차원의 정의를 참조하여 소수차원을 만들어 냈다. 만델브로는 위의 코흐 곡선의 차원이 1.2618 임을 정확히 계산했다.소수차원은, 달리는 명확히 정의할 수 없는 성질, 즉 어떤 물체의 거칠거칠한 정도, 혹은 부서진 정도, 혹은 불규칙한 정도를 측정하는 방법이 된다.
그리고 이는 프랙털 차원(fractal dimension)이라는 이름으로 불리고 있다.
4. 자연 속의 프랙털의 예
우리 주위는 프랙털 구조가 도처에 존재한다. 인간의 순환기, 산, 구름, 나뭇가지, 양치류, 날씨 등이 모두 그러한 예이다.
5. 프랙털의 특징
-자기 유사성(self similarity)
위에서 제시한 예들은 작은 부분을 선택하여 확대하면(zoom up) 전체의 구조와 같은 구조를 갖고 있다.
-무한전한 가지치기(infinite branching)
-모든 영역에서 복잡한 구조