나비효과의 프랙털이란^#^

프랙털이란
1. 프랙털과 Scale
<영국 해안선의 길이는 얼마인가?>
폴란드 출신의 미국의 응용수학자 만델브로는 해안선과 구불구불한 국경선에 의문을 느끼면서 여러 백과 사전을 검토한 결과, 약 20%의 차이가 있음을 발견하였다. 사실 해안선의 길이는 측정하는 자의 길이에 따라 달라진다. 다음 그림을 보자.
<코흐곡선>
언뜻 보기에 이 질문은 매우 단순해 보인다. 지도와 자가 있다면 여러분은 앉아서도 곧 결과를 얻을 것이다. 그렇지만 실제로 해안으로 나가서 직접 측량을 한다면 더 큰 값을 얻을 것이다. 더욱이 측량하는 자의 크기가 작아질수록 더 큰 결과를 얻게될 것이다.
`프랙털'이란 용어는 자신의 저서 "자연의 프랙털 기하학"에서 위의 간단한 질문을 통해 인간이 가진 직관적 인식과 차원의 개념에 대하여 심오한 의문을 제기하였다.
만일 원과 같이 매끄러운 곡선이라면 우리는 원주의 길이를 알고 있다. 이다. 원의 내부에 접하는 다각형을 이용하여 원주의 근사치를 구해갈 수도 있다. 이때 다각형의 한 변의 길이가 점점 짧아지면, 즉 4각형->8각형->16각형으로 증가하면 이렇게 다각형의 변의 길이의 합으로 구한 것을 '파이 이야기'에서 보았다.
그러나 원모양의 곡선과 해안선과 같은 곡선은 근본적으로 차이가 있다. 해안선의 수많은 굴곡, 강, 바위들을 생각하면 될 것이다. 긴 측량단위는 이들의 굴곡들을 무시하고 그냥 지나간다. 이보다 짧은 측량단위는 구부러진 형태들을 고려하기에 전체길이가 증가할 것이다. 우리는 이와 같이 측량의 단위를 작게 할수록 곡선의 길이가 증가한다면 이러한 곡선을 프랙털 곡선이라 부를 수 있다. 여러분의 손지갑에 들어있는 티슈를 찢어서 그 찢어진 선을 보면 쉽게 이해될 것이다.
만델브로는 측정단위가 작아짐에 따라 해안선의 길이는 한없이 커짐을 발견하였다.길이, 깊이, 두께 등을 측정하는 유클리드식 측정 방법으로는 불규칙한 현상의 본질을 나타낼 수 없기 때문에, 만델브로는 다른 생각, 즉 차원이라는 개념으로 관심을 돌렸다.
2. 꼬인 실뭉치는 몇차원인가?
만델브로는 그것이 사람의 관점에 따라 다르다고 대답했다. 먼 거리에서 보면 실뭉치는 0차원의 접으로 보인다. 가까이서 보면, 실뭉치는 구를 채우고 있는 3차원으로 보인다. 더 가까이서 보면 꼬인 실이 보이는데, 1차원의 실이 차원 공간속에 뒤엉켜 있긴 하지만, 1차원 물체이다. 만델브로는 수학자답지 않게 상대성에 호소하였다. 물론 이 주장의 약점은 '멀리서' 그리고 '가까이서' 라는 불분명한 개념에 의존하고 있다. 이처럼 차원 전환에 나타나는 모호한 성격은 그러나 약점이 아니라 차원에 대한 새로운 사고를 태동시켰다.
<힐버트의 곡선>
힐버트의 곡선은 직선으로 평면을 채울 수 있음을 보여준다. 과연 이 평면을 채우는 직선의 차원은 얼마인가?
3.소수차원
만델브로는 0,1,2,3,... 이라는 차원을 넘어서서 있을 수 없을 것 같이 보이는 소수 차원을 생각했다. 그는 수학자들의 오래된 차원의 정의를 참조하여 소수차원을 만들어 냈다. 만델브로는 위의 코흐 곡선의 차원이 1.2618 임을 정확히 계산했다.소수차원은, 달리는 명확히 정의할 수 없는 성질, 즉 어떤 물체의 거칠거칠한 정도, 혹은 부서진 정도, 혹은 불규칙한 정도를 측정하는 방법이 된다.
그리고 이는 프랙털 차원(fractal dimension)이라는 이름으로 불리고 있다.
4. 자연 속의 프랙털의 예
우리 주위는 프랙털 구조가 도처에 존재한다. 인간의 순환기, 산, 구름, 나뭇가지, 양치류, 날씨 등이 모두 그러한 예이다.
5. 프랙털의 특징
-자기 유사성(self similarity)
위에서 제시한 예들은 작은 부분을 선택하여 확대하면(zoom up) 전체의 구조와 같은 구조를 갖고 있다.
-무한전한 가지치기(infinite branching)
-모든 영역에서 복잡한 구조
　

울림의 소통(共鳴)


노을지는 언덕받이에서 솔산한 바람이 불며
운무에 반사된 돌아가는 만상들의 떨림을 느낀다

고즈넉한 산사에서 밀려오는 진중한 울림이
어느 새 폐속 깊숙히 들어와 자리를 잡는다

심연에 잠긴 처연한 한 빛마저 사그러 들때
산란스런 한 점의 자태마저 소스란히 묻혀 버린다

태초는 언제부터 였는가?
얼마 만의 나 였는가?

모른다...

막연함에서 울림이 온다
온통 공명(共鳴)되어 純맥질이 시작되나 보다

그렇다...

초연함의 공명이 울림의 실천소통이로다.


修行- 절로 純

나비의 단순한 날갯짓이 날씨를 변화시킨다는 카오스이론.
미국의 기상학자 에드워드 N. 로렌츠가 처음으로 발표한 이론이지만 나중에 카오스 이론으로 발전하는 계기가 되었다. 일반적으로는 작고 사소한 사건 하나가 나중에 커다란 효과를 가져온다는 의미로 쓰인다.
이 이론은 로렌츠가 〈결정론적인 비주기적 유동 Deterministic Nonperiodic Flow〉이라는 논문을 발표하면서 결정론적 카오스(Deterministic Chaos)의 개념을 일깨운 새로운 유형의 과학 이론이었다. 로렌츠는 컴퓨터를 사용하여 기상현상을 수학적으로 분석하는 과정에서 초기 조건의 미세한 차이가 시간의 흐름에 따라 점점 커져서 결국 그 결과에 엄청나게 큰 차이가 난다는 것을 발견했다. 브라질에 있는 나비의 날갯짓이 미국 텍사스에 토네이도를 발생시킬 수도 있다는 것이다.
미세한 차이가 엄청난 결과를 가져온다는 나비효과는 이렇듯 처음에는 과학이론에서 발전했으나 점차 경제학과 일반 사회학 등에서도 광범위하게 쓰이게 되었다. 가령 1930년대의 대공황이 미국의 어느 시골 은행의 부도로부터 시작되었다고 본다면, 이것은 나비효과의 한 예가 되는 것이다. 또한 1달 후나 1년 후의 정확한 기상예보가 불가능하듯이 주식이나 경기의 장기적인 예측이 불가능한 것도 이러한 나비효과가 영향을 미치기 때문이다.

카오스 이론을 가장 잘 요약해 주는 동양의 두 경전의 어구들이 있기에 이것으로 들어가는 말을 대신하고자 한다.一中多 多中一 하나에 모두 있고 많은 데 하나 있어 一卽多 多卽一 하나가 곧 모두요 모두가 곧 하나이니 一微塵中含十方 한 티끌 작은 속에 세계를 머금었고 一切塵中亦如是 낱낱의 티끌마다 세계가 다 들었네. 無量遠劫卽一念 한 없이 긴 시간이 한 생각 찰나이고 一念卽是無量劫 찰나의 한 생각이 무량한 긴 겁이네 <法性偈>'남해에 임금이 있어 그 이름을 숙(　)이라고 하고 북해의 임금을 홀(忽)이라하고 중앙의 임금을 혼돈(渾沌)이라 하였다. 언젠가 숙과 홀이 혼돈을 찾아가서 극진한 대접을 받았다. 숙과 홀은 혼돈에게서 받은 대접에 감격하여 진심으로 그 은혜를 갚고자 했다. '사람에게 이목구비 일곱 구멍이 있다. 아름다움을 볼 수 있는 눈, 묘한 소리를 들을 수 있는 귀, 맛있는 음식을 먹을 수 있는 입, 편히 숨쉬고 잘 수 있는 코가 그것이다. 혼돈에게 홀로 이런 것이 없으니 우리가 힘을 합해 뚫어 줍시다.' 두 임금이 힘을 합하여 혼돈에게 매일 한 구멍씩 구멍을 뚫어 갔다. 마지막 이레 되는 날에 이목구비의 일곱 구멍이 완성되자 혼돈이 죽고 말았다.'
카오스 이론을 필두로 등장하기 시작한 현대 과학의 이론들은 종래의 과학 패러다임 자체를 변혁시키며 인류의 지적 영역을 확대해 왔다. 카오스 이론이란 그동안 무시해왔던 불규칙한 현상의 배후에 있는 규칙성을 찾는 이론으로, 흔히 북경에 있는 나비 한 마리의 날개짓의 효과로 상징되어지곤 한다. 그러나 카오스 이론의 등장은 어쩌면 오래 전부터 예견되어 있었을지도 모른다는 주장이 있다. 일찍이 동양의 노자와 장자, 그리고 석가모니가 설파한 불교 사상 속에 카오스 이론을 비롯한 현대 과학의 중요한 개념들이 담겨져 있기 때문이다. 한국 수학계의 거장이자 오랫동안 카오스 이론과 불교 사상을 연구해온 저자는 이 책을 통해 불교를 중심으로 하는 동양 사상과 현대 과학으로 이어지는 서양 철학이 하나가 되는 과정을 살피면서, 앞으로의 과학 문명이 이끌어나갈 새로운 지식의 세계를 구상하고 있다. 이 책 속에 흐르는 불교의 사상은 모든 현상에는 본질이 없다는 제법무아(諸法無我), 하나가 곧 전체이며 전체가 곧 하나라는 일즉다 다즉일(一卽多 多卽一), 그리고 모든 것이 끊임없이 변해가므로 있는 그대로를 본다는 제행무상(諸行無常)의 철학이다. 이는 20세기의 과학이 절대성, 완전성, 확정성, 명백성을 부정하면서 상대성, 변화, 무아(無我)의 개념으로 이어지는 것과 맥을 같이 하고 있다. 가령 카오스 이론의 특징 중 하나인 프랙털은 전체 속의 어느 한 부분이 곧 전체임을 나타내는데, 이것이 불교에서 말하는 일즉다 다즉일(一卽多 多卽一)과 정확히 일치한다는 것이다. 이 책은 고대로부터 현대에 이르기까지 과학과 문명의 역사를 살펴보며, 석가모니, 탈레스, 피타고라스, 뉴턴, 데카르트, 스피노자와 같은 위대한 사상가들의 사유를 소개한다. 불교와 과학을 접합하는 독특한 시도 속에서 우주와 자연 그리고 인간에 관한 성찰을 얻을 수 있을런지도 모르겠다. 저자
김용운 - 일본 동경에서 태어나 와세다 대학교, 미국 어번 대학원(M.S.), 캐나타 앨버타 대학원(Ph. D.)을 졸업하였다. 미국 위스콘신 주립대 조교수를 역임하였으며 일본 고베 대학과 도쿄 대학, 일본 국제문화 연구센터 등의 객원 교수, 수학사학회 회장, 한양대학교 대학원장을 지냈다. 현재는 수학문화연구소 소장이며 한양대학교 수학과 명예교수로 재직하고 있다.지은책으로 <인간학으로서의 수학>, <일본의 몰락>, <한일 민족의 원형>, <일본인과 한국인의 의식구조>, <한국수학사>, <카타스트로피 이론 입문>, <재미있는 수학여행>, <프랙탈과 카오스의 세계>, <초학습법>, <원형의 유혹>, <수학사대전>, <수학서설>, <수학사의 이해>, <문화로 배우는 이야기 일본어>, <제2건국론> 등이 있다. 한국 출판문화상과 서울시 문화상, 대한수학회 공로상을 수상하였다. 이 사람 정말 재주꾼이네! - 찌리릿 나도 이 사람처럼 잘 좀 했으면 좋겠다. - 기스 이 사람 순 요리 사기꾼이다. - 대방동주방장 -->
저자의 말
절대 진리의 존재를 부정하는 불교 사상, 절대 진리의 존재를 내세우는 철학, 이 두 영역을 넘나들면서 드디어 카오스 이론과 불교의 공통 영역인 생명 패러다임을 구상하게 되었다. 정보화 시대의 도래와 때를 맞추어 등장한 카오스 이론을 태어나서 성장하고 사멸해 가는 모든 생명 현상에 나타나는 복잡한 과정을 과학의 눈으로 파악하는 일을 통해 불교와 만나 생명 패러다임을 구상하게 된 것이다. 그것은 종전의 물질 중심의 기계론 또는 요소환원주의 세계관이 맞서 살아 숨쉬는 생명 현상을 중심으로 대상을 바라보는 것이다. 이 카오스 이론이 평생 수학의 곁에서 불교 사상을 접해 온 필자의 지적 편력을 반추하는 마지막 영역이 되었다. 카오스와 불교는 한결같이 연기(緣起)의 철학에 기반을 두고 있다. 수학은 본래 유클리드 기하로 상징되고 공리주의에서 출발했으나, 이제 공리를 무시하고 생명적으로 변하는 현상을 파헤치는 카오스 이론에 당도한 것이다. 현상 간의 상호작용은 곧 연기이며 개인이 전체의 존재를 가능하게 하고 역으로 전체가 개인의 존재를 규정짓는 일즉다 다즉일(一卽多 多卽一)의 불교적 세계관과 맥을 같이 한다. 말하자면 이러한 카오스 이론을 통해 비로소 동서양 만남의 장이 형성되어 가고 있는 것이다. 이 책을 통해 불교를 중심으로 하는 동양 사상과 현대 과학으로 이어지는 서양 철학이 하나가 되는 과정을 살피고, 21세기의 새로운 지(知)의 세계를 구상하고자 한다. 그 내용은 다음과 같다.
서양 근대과학 사상의 원류로서의 밀레토스 학파의 철학과 피타고라스(수학 사상의 원류)를 더듬고 불교 사상과의 근본 차이를 생각한다.
카오스적 수학과 불교적 수학의 기본적인 공통점(삼체문제와 연기 사상)
카오스의 자기조직과 노장자의 무위자연과의 비교
불교적 업과 카오스의 되먹임
불교의 <일즉다 다즉일>과 카오스의 프랙탈
상대주의와 패러다임론
현대 심리학, 양자역학, 유신론의 관계를 신비주의를 초월하는 연기계와 연기파의 입장에서 논한다.
생명 패러다임을 요청하는 시대적 상황
생명 패러다임에서 보는 학문 영역과 동서 철학, 그리고 인류의 미래 - 김용운(지은이)